Diamo un senso a Ricerca Operativa

Nel seguito abbozzo delle spiegazioni per le domande a risposta aperta dell'esame di Ricerca Operativa ( 6 CFU A.A 2013/2014 ).
DOMANDE 24/03/2014

Domanda 1:

1. FALSO perchè se l'insieme è  convesso posso esprimere ogni punto z come appartenente ad un segmento [x,y] tale che z = a*x + (1- a)*y, nel caso avessi un punto isolato questa condizione non si verificherebbe perchè non posso avere un segmento nell'intorno del punto isolato.
2. FALSO perchè un iperpiano è un insieme convesso e l'intersezione fra due insiemi convessi è esso stesso un insieme convesso.
3. VERO perchè non possiamo verificare l'esistenza di un segmento [x,y] tale per cui ogni punto dell'insieme H unione X (con X generico insieme convesso) può essere espresso nella forma z = a*x + (1- a)*y.
4. FALSO

Domanda 2:

1. VERO
2. VERO perchè un polìtopo è un poliedro è un insieme limitato. Poichè l'insieme vuoto è anch'esso un poliedro allora un polìtopo può coincidere con un insieme vuoto.
3. FALSO se il polìtopo è un insieme vuoto.
4. FALSO perchè un poliedro in R^n ha al più il coefficiente binomiale di n elementi presi m alla volta.

Domanda 3:

1. FALSO il punto non appartiene al poliedro 
2. VERO perchè non soddisfa i vincoli in particolare il secondo
3. VERO perchè per il corollario 5.1.16 (pag. 88) abbiamo che esiste un unico vertice. Quel vertice corrisponde al vettore (1 4 2)T: poichè per tale vettore abbiamo che il numero dei vincoli attivi è pari a 3 e le corrispondenti righe della matrice A sono linearmente indipendenti allora il vettore sopracitato è un vertice.
4. FALSO per la risposta precedente.

Domanda 4:

1. FALSO Ogni problema PL può essere espresso in forma standard senza perdità di generalità, quindi se un problema non ammetteva vertice allora in forma standard il problema è equivalente e anch'esso non ammetterà vertice.
2. FALSO guarda sopra.
3. VERO perchè il problema in forma standard è contenuto nell'ortante positivo, quindi non può contenere rette. 
4. FALSO guarda sopra.

Domanda 5:

1. FALSO perchè la terza riga si può ottenere come combinazione lineare della prima moltiplicata per un coefficente pari a 3 sommata alla seconda. Posso quindi trovare una sottomatrice 2X2 tale che rango(A) = 2.
2. FALSO perchè esiste almeno un punto x che soddisfa ogni vincolo del problema (ad esempio il vettore ( 0 0 0 0 0 0 1 ) è un punto ammissibile).
3. VERO perchè per il Corollario 6.2.13 (pag. 115) una soluzione x =/= 0 per ogni n e appartenente a P è una SBA se e solo se le colonne di A corrispondenti alle componenti di x positive sono linearmente indipendenti.
4. VERO per il motivo di cui sopra.

Domanda 6:

1. VERO per definizione (pag. 123)
2. FALSO perchè quello è compito della fase I
3. VERO
4. FALSO perchè se esiste una SBA degenere allora potremmo ciclare più volte sulla stessa SBA anche se la matrice di base è diversa.

Domanda 7:

1. FALSO perchè gamma ha elementi negativi.
2. FALSO perchè il quarto elemento del vettore gamma è negativo, e la quarta colonna della matrice B-1N soddisfa il criterio
3. VERO perchè la SBA presenta uno 0 al suo secondo elemento
4. FALSO perchè quell'espressione ci indica che esiste un limite inferiore, ma come avevamo visto nel quesito 2, il problema è illimitato inferiormente quindi l'affermazione non può essere vera.

Domanda 8:

1. FALSO perchè per potervi applicare la Fase II del metodo del Simplesso, fra le ipotesi che dobbiamo soddisfare dobbiamo avere che l'insieme delle soluzioni del problema ausiliario non sia vuoto ( guarda pag 150, primo punto).
2. FALSO perchè la non-negatività delle variabili ausiliare implica la non  negatività della funzione obiettivo.
3. VERO la soluzione (b 0 )T è una SBA.
4. FALSO guarda sopra. È una soluzione non degenere.

Domanda 9:

1. FALSO si consideri l'esempio di pag.162
2. FALSO si guardi sopra. 
3. FALSO
4. FALSO non sta scritto da nessuna parte.

Domanda 10:

1.